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開写像である事の証明

 投稿者:Carnellia  投稿日:2017年 2月24日(金)07時37分38秒
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  宜しくお願い致します。

Λを任意個の添数集合とし,(X_λ,T_λ) を位相空間とする(λ∈Λ)。
B:=∪_{n=1..∞}∪_{{λ_1,λ_2,…,λ_n}⊂Λ}{(Π_{λ∈Λ\{λ_1,λ_2,…,λ_n}}X_λ)×t_{λ_1}×…×t_{λ_n};t_{λ_k}∈T_{λ_k} (k=1,…,n)}
は開基をなす。この時,
T:=∪_{Mは任意の添数集合}{∪_{μ∈M}b_μ;b_μ∈B}はΠ_{λ∈Λ}X_λの位相空間をなし,(X_λ,T_λ)の直積位相と呼ぶと思います。

[命題] proj_β: Π_{λ∈Λ}X_λ → X_β (β∈Λ)は開写像となる。
(証)
任意のt∈Tを採ると,t=∪_{μ∈M}b_μなる添数集合Mとb_μが存在する。
その時,proj_β(b_μ)はBの定義から各μに対して,像proj_β(b_μ)はX_β(∈T_β)かt_β(∈T_β)である。
よって,proj_β(b_μ)はX_βかt_βのM個の和集合なので(proj_β(t)=)proj_β(b_μ)はT_βの元である。
∀t∈T⇒proj_β(t)∈T_βが示されたのでproj_βは開集合である。(終)

で正しいでしょうか?
 
 
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